Questão 1
(Vunesp) A expressão 
, com sen θ ≠ 1, é igual a:
a) sen θ
b) sen θ + 1
c) tg θ . cos θ
d) 1
e) sen θ
sec θ
Questão 2
(PUC – SP) Se cos 2x = 0,2, então tg² x é igual a:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/3
e) 2
Questão 3
Determine o valor de A = 
, sabendo que sen x = 4/5 e que x pertence ao 1° quadrante.
Questão 4
Determine os valores de tg x, cotg x, sec x e cossec x, sabendo que cos x = 4/5 e que o ângulo x encontra-se no 1° quadrante.
Resposta Questão 1
Para resolver essa questão, precisamos nos lembrar da relação fundamental da trigonometria que garante que:
sen² θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 – sen² θ
A partir disso, vamos substituir o valor encontrado para cos² θ na expressão :
cos² θ = 1 – sen² θ
1 – sen θ 1 – sen θ
Você deve concordar que podemos expressar 1 – sen² θ como 1² – sen θ. Essa pequena mudança ajuda a visualizar a presença do produto notável conhecido como “produto da soma pela diferença”. De acordo com esse produto notável, podemos afirmar que:
1² – sen θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)
Substituindo essa igualdade na expressão que estamos trabalhando, teremos:
cos² θ = 1 – sen² θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)
1 – sen θ 1 – sen θ 1 – sen θ
Dividindo o numerador e o denominador da expressão por (1 – sen θ), restará:
cos² θ = 1 + sen θ
1 – sen θ
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 2
Partindo da ideia do arco duplo, podemos reescrever cos 2x como cos² x – sen² x. Sendo assim, temos:
cos 2x = 0,2
cos² x – sen² x = 0,2
cos² x = 0,2 + sen² x
Mas pela relação fundamental da trigonometria, temos que sen² x + cos² x = 1. Substituindo o valor anteriormente encontrado para cos² x nessa equação, teremos:
sen² x + cos² x = 1
sen² x + (0,2 + sen² x) = 1
2.sen² x = 1 – 0,2
2.sen² x = 0,8
sen² x = 0,8
2
sen² x = 0,4
No momento, não é interessante extrair a raiz de sen² x. Vamos agora substituir o valor encontrado na equação trigonométrica cos² x = 0,2 + sen² x:
cos² x = 0,2 + sen² x
cos² x = 0,2 + 0,4
cos² x = 0,6
Como já identificamos os valores de sen² x e de cos² x, vamos determinar o valor de tg² x:
tg² x = sen² x
cos² x
tg² x = 0,4
0,6
tg² x = 4
6
tg² x = 2
3
Portanto, a alternativa correta é a letra b.
Resposta Questão 3
Como já temos o valor de sen x, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos x:
sen² x + cos² x = 1
4² + cos² x = 1
5²
cos² x = 1 – 16
25
cos² x = 9
25
cos x = ± √9
√25
cos x = 3
5
Observe que, nesse caso, o resultado negativo da raiz quadrada não é adequado, pois, como o ângulo x encontra-se no 1° quadrante, o valor de seu cosseno é positivo. Vamos agora desenvolver a expressão A:
A = cos x + tg x
cotg x . sec x
A = 
A = 
A = cos² x + sen x . sen x
cos x 1
A = (cos² x).(sen x) + sen² x
cos x
Substituindo os valores de cos x e sen x na equação, teremos:
A = (cos² x).(sen x) + sen² x
cos x
A = 
A = 116 . 5
125 3
A = 116
75
Portanto, para sen x = 4/5, temos que A = 116/75.
Resposta Questão 4
Apesar de não ter sido solicitado o valor de sen x, precisamos identificá-lo para que possamos determinar os demais valores pedidos. Através da relação fundamental da trigonometria, temos:
sen² x + cos² x = 1
sen² x + 4² = 1
5²
sen² x = 1 – 16
25
sen² x = 9
25
sen x = 3
5
Vamos agora determinar o valor de tg x:
tg x = sen x
cos x
tg x = 
tg x = 3 . 5
5 4
tg x = 3
4
Como cotg x é a função inversa de tg x, basta fazer:
cotg x = 1
tg x
cotg x = 4
3
Vamos determinar o valor de sec x:
sec x = 1
cos x
sec x = 
sec x = 1 . 5
4
sec x = 5
4
Por fim, resta determinar o valor de cossec x:
cossec x = 1
sen x
cossec x = 
cossec x = 1 . 5
3
cossec x = 5
3