Questão 1
(Enem) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x. 5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é:
a) x.y.z
b) (x+1).(y+1)
c) x.y.z -1
d) (x+1).(y+1).z
e) (x+1).(y+1).(z+1) -1
Questão 3
Encontre os cinco primeiros múltiplos não negativos dos números abaixo:
a) 15
b) 30
c) 6
Questão 4
(EsPCex) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores inteiros positivos do número 360, a probabilidade de esse elemento ser um número múltiplo de 12 é:
a) 1
2
b) 3
5
c) 1
3
d) 2
3
e) 3
8
Resposta Questão 1
Dados da questão
-
N = 2x . 5y . 7z
-
N não é múltiplo de 7.
-
N é múltiplo de 10.
-
Precisamos descobrir a expressão referente ao número de divisores de N diferentes de N.
Solução
O número total de divisores positivos de N é dado pela fórmula: N = (x + 1) . (y + 1) . ( z + 1)
Acrescentamos +1 em cada incógnita para obtermos o sucessor, ou seja, o próximo termo da sequência.
O número total de divisores positivos de N diferentes de N é dado por: N = (x + 1) . (y + 1) . (z + 1) – 1.
Subtraímos um no final da expressão para que o número obtido como solução sempre seja diferente de N.
A alternativa correta para essa questão é a letra e.
Resposta Questão 2
a) 8 = { 1, 2, 4, 8}
Isso porque:
8 : 1 = 8
8 : 2 = 4
8 : 4 = 2
8 : 8 = 1
b) 32 = { 1, 2, 4, 8, 32}
Isso porque:
32 : 1 = 32
32 : 2 = 16
32 : 4 = 8
32 : 8 = 4
32 : 16 = 2
32 : 32 = 1
c) 100 = {1, 2, 4 , 5, 10, 20, 25, 50, 100}
Isso porque:
100 : 1 = 100
100 : 2 = 50
100 : 4 = 25
100 : 5 = 20
100 : 20 = 5
100 : 25 = 4
100 : 50 = 2
100 : 100 = 1
Resposta Questão 3
a) 15 = {15, 30, 45, 60, 75}
Isso porque:
15 x 1 = 15
15 x 2 = 30
15 x 3 = 45
15 x 4 = 60
15 x 5 = 75
b) 30 = {30, 60, 90, 120, 150}
Isso porque:
30 x 1 = 30
30 X 2 = 60
30 X 3 = 90
30 X 4 = 120
30 X 5 = 150
c) 6 = {6, 12, 18, 24, 30}
Isso porque:
6 x 1 = 6
6 x 2 = 12
6 x 3 = 18
6 x 4 = 24
6 x 5 = 30
Resposta Questão 4
Para solucionar essa questão, devemos decompor o número 360 em fatores primos.
360| 2
180| 2
90| 2
45| 3
15| 3
5| 5
1|
360 = 23 . 32 . 51
Para saber o número total de divisores de 360, devemos aplicar a fórmula:
D = (a +1). (b + 1) . ( c + 1) …..
D = Número total de divisores de um número
a, b, c = Expoentes da fatoração
Utilizando a fórmula descrita, temos:
D = (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1)
D = 4 . 3 . 2
D = 24
Para calcularmos a probabilidade de o elemento do conjunto de divisores ser um múltiplo de 12, devemos fatorar o 12.
12| 2
6| 2
3| 3
1|
12 = 22 . 3
Devemos agora escrever 360 a partir da fatoração de 12.
360 = (2². 3) · (21 . 31 . 51)
Agora devemos calcular a quantidade de múltiplos de 12 que são divisores de 360. Para isso, faça:
M = (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1)
M = 2 . 2 . 2
M = 8
Temos, então, a seguinte probabilidade:
P = quantidade total de múltiplos de 12 que são divisores de 360
Número total de divisores de 360
P = 8:8
248
P = 1
3
A alternativa correta dessa questão é a letra c.